恒星日、太阳日和均时差

一、恒星日和太阳日

与恒星月和朔望月的概念类似，恒星日和太阳日的差别是由于地球的公转造成的。恒星日是以天空中的恒星作为背景来参考，当地球上的一点连续两次对准同一颗恒星，所花的时间就是一个恒星日的时长，也就是地球自转一周的时长，其值为23小时56分4秒。太阳日是以太阳作为位置参考，当地球上的一点连续两次对准太阳，所花的时间就是一个太阳日的时间。如图1所示，由于地球的自转，当地球经历了一个恒星日后，其实并没有再次对准太阳，中间还差一个小角度，因此地球还要多花几分钟的时间来转过这个小角度从而与太阳再次对齐，完成一个太阳日的转动。因此，太阳日要比恒星日长。

太阳日又可以分为视太阳日和平太阳日。视太阳日是以太阳的周日视运动为依据，视太阳位于正南向为正午测得的时间（即太阳两次经过当地子午圈所花的时间），古代的日晷测得的时间就是视太阳日（或者称视太阳时）。由于地球轨道是椭圆的，和地轴倾斜的影响，每一天的视太阳日时长都不一样。平太阳日是将一年的视太阳日时长总和求平均得到的，其值为24小时，也就是我们的时钟和手表走一天的时长，每一天都一样。我们日常所用到的都是平太阳日，因为其时长不变且使用方便。但由于视太阳日的时长每天都不一样，一年中某些时间内视太阳日的时长长于平太阳日，某些时间内视太阳日的时长短于平太阳日，视太阳日与平太阳日的差值就叫做均时差，即均时差＝视太阳日时长－平太阳日时长（24 h）。均时差”一词来源于中世纪拉丁语“aequātiō diērum”，意思是“日数的程式”或“日的差异”，古时钟表发明之前，人们靠日晷来知晓时间，但日晷测的是视太阳时，因此需要用均时差来将其校正为平太阳日。

二、幕后推手：椭圆形轨道与地轴倾斜

均时差的的存在，地球的椭圆形轨道和地球地轴的倾斜是决定性因素。

1.椭圆形轨道的影响

a.定性讨论：

先不考虑地轴倾斜对视太阳日和均时差的影响（即假设没有倾斜，而是与公转轨道面垂直）。如果地球的轨道是圆的，地球在轨道的任何位置上与太阳的距离都是相同的，那地球绕太阳的公转就是一个匀速圆周运动，运动速度大小处处相等，那么视太阳日的时长就不会变化，并且等于平太阳日。但实际上地球的公转轨道是一个椭圆形轨道，如图2所示，根据开普勒第二定律，地球与太阳之间的连线（也就是椭圆轨道的焦半径）在相同时间内扫过相等的面积。由于在椭圆轨道上地球到太阳的距离处处不等，当地球距离太阳较近时，地球与太阳之间的连线较短，为了遵循开普勒第二定律，地球在轨道上的运行速度较快；当地球离太阳较远时，同理，地球在轨道上的运行速度较慢。

当地球运行速度较快时，如图3所示，地球转过一个恒星日时，由于地球跑的比较“前”，这时它需要继续转过一个相对较大的角度（为了方便观察与理解，该角度被夸张地放大）才能与太阳再次对齐，完成一个（视）太阳日周期，此时，视太阳日就比平太阳日长，均时差为正值。

当地球运行速度较慢时，如图4所示，地球转过一个恒星日时，由于地球跑的比较慢，这时它只需要继续转过一个相对较小的角度（为了方便观察与理解，该角度被夸张地放大）就能与太阳再次对齐，完成一个（视）太阳日周期，此时，视太阳日就比平太阳日短，均时差为负值。

b.定量处理（此处为数学处理过程，比较硬核，可以不看，不影响阅读效果）：

太阳的回归年周期（太阳在黄道上两次经过春分点所花的时长）为365.2422天，地球绕太阳运动的平均角速度为ω = 2π/365.2422天^-1 ，如果用函数来刻画这种现象的话，可以近似用正弦函数表示为：

其中t的单位为天，这个函数的周期为一年，函数图像如图5所示。

其精确的函数表示为：

周期同样是一年，函数图像如图6所示。可以看出，精确的图像与笔者近似处理的图像几乎是一样的，较明显的不同是在t接近0时的位置，这是由于地球进过近日点的日期不断缓慢推后导致的。

2.地轴倾斜的影响

a.定性讨论：

除了椭圆轨道会对均时差产生影响，地轴倾斜也会造成影响。不考虑椭圆轨道的影响（即按照圆形轨道来处理），假如地球的地轴没有倾斜而是与公转轨道面垂直，那么对于北半球而言，每天的正午12点，太阳都会准时出现在天空的正南方，不会偏东也不会偏西，也就是说视太阳日时长都是一样的，并且等于我们手表上记录的平太阳日时长，并且每一时刻的视太阳时与平太阳时也是相同的。但现实是地轴倾斜了23.5°，这就导致视太阳时与平太阳时出现了偏差，也就导致了均时差的产生。

b.定量讨论（此处为数学处理过程，更加硬核，可以不看，不影响阅读效果）：

对于地轴倾斜对均时差的影响会稍显复杂。我们可以从以下方面入手，用以得到一个精准度还过得去的均时差关系式。考虑到恒星日与太阳日之间相差的角度实际上是太阳在赤道坐标系上一天内移动的赤经，而这个移动速度有快有慢，快的时候视太阳日比平太阳日长，均时差为正，慢的时候视太阳日比平太阳日短，均时差为负，我们可以将太阳在一年之内赤经的变化给求出来，进而求到均时差的函数关系式。

由于太阳的赤经变化不好直接求到，因此我们可以借助坐标转换，通过黄道坐标系转换到赤道坐标系来求出赤经的变化。因为太阳沿着黄道运动，其黄纬β＝0，设黄经

其中365.2422为太阳的回归年周期。由黄道坐标系与赤道坐标系的变换公式：

式中，δ和α分别为赤道坐标系的赤纬和赤经，β和λ分别为黄道坐标系的黄纬和黄经，ε为黄赤交角，也就是地轴的倾角23.5°。因此，经过一系列的代换，可以得到太阳赤经随时间变化的表达式：

即

这里为了作图方便，将冬至日作为起点，故t要减去91天将起点从春分日移到冬至日。将其减去平太阳日对应的太阳赤经变化，也就是θ＝ω(t－91)，即得到视太阳日相比于平太阳日快还是慢的函数（图9），所得函数的纵坐标为角度（以弧度作为单位），横坐标为天数。该函数的零点位于二分二至点，周期为半年，其最大值为0.043弧度，即2.48°，按照1°对应4分钟的关系，计算得到峰值对应的时间为9.92分钟，与实际结果9.87分钟十分接近，误差仅为0.5%，说明我们的模型估算精确度是很高的。

综合椭圆轨道和地轴倾斜给均时差带来的影响，将二者的均时差函数进行相加，得到总的均时差图像，如图11所示。从图中可以看出，均时差正值取最大时可以达到14分钟，说明到了第二天我们的手表指示为正午12点时，太阳实际上还没有完成一个视太阳日的周期（因为此时视太阳日长于平太阳日），此时可以认为我们的手表比真正的太阳时快了14分钟；相反，负值取最大时可以达到16分钟，说明我们的手表比真正的太阳时慢了16分钟。